บทคัดย่อ การวิจัยครั้งนี้เป็นการวิจัยแบบกรณีศึกษา (Case Study) ใช้ระเบียบวิธีวิจัยเชิง คุณภาพที่เน้นการวิเคราะห์โปรโตคอล (Protocol Analysis) และการบรรยายเชิงวิเคราะห์ (Analytical Description) เพื่อศึกษาการใช้ระบบการนำเสนอภายนอกของครู และระดับความ เข้าใจทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนตามแนวคิดทฤษฎีของ Pirie และ Kieren เรื่องสมการเชิงเส้นตัว แปรเดียว ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 กลุ่มเป้าหมายของการวิจัยครั้งนี้เป็น ครูที่สอนวิชาคณิตศาสตร์ ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2552 จำนวน 1 คน และนักเรียนระดับชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 1 ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2552 จำนวน 3 คน ซึ่งได้รับการจัดการเรียนรู้จากครู กลุ่มเป้าหมาย จากโรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยขอนแก่น(ศึกษาศาสตร์) ผลการวิจัยพบว่า 1) ครูใช้การนำเสนอภายนอกที่หลากหลายในการจัดกิจกรรมการ เรียนรู้เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ได้แก่ การใช้ภาษาพูดและภาษาเขียน สัญลักษณ์ทาง คณิตศาสตร์ การใช้ตัวอย่างที่หลากหลายประกอบการอธิบาย สถานการณ์จริง แบบฝึกหัด และ พบว่า ครูใช้ แผนภาพ ตาราง และรูปภาพ เพื่อแสดงการวิเคราะห์โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้น ตัวแปรเดียว 2) ระดับความเข้าใจทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนตามแนวคิดทฤษฎีของ Pirie และ Kieren พบว่า (1) เรื่องความหมายของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว นักเรียนมีความเข้าใจทาง คณิตศาสตร์ถึงระดับการมีมโนภาพ ระดับการสังเกตคุณสมบัติ และระดับการสร้างข้อสรุปเชิง นามธรรม (2) เรื่องการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว นักเรียนมีความเข้าใจถึงระดับการมีมโนภาพ และมีความเข้าใจถึงระดับการสร้างข้อสรุปเชิงนามธรรม และ (3) เรื่องการแก้โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว นักเรียนมีความเข้าใจถึงระดับการมีมโนภาพ และมีความเข้าใจถึงระดับการ สร้างข้อสรุปเชิงนามธรรม