บทคัดย่อ การวิจัยครั้งนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาการใช้ระบบการนำเสนอภายนอกของครู และระดับ ความเข้าใจเชิงเรขาคณิตของนักเรียนตามแนวคิดทฤษฎีของ van Hiele เรื่อง ทฤษฎีบทปีทาโกรัส สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ซึ่งประกอบด้วย ผู้วิจัย 1 คน ผู้ช่วยวิจัย 4 คน กลุ่มเป้าหมายคือ ครูสอนคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2552 จำนวน 1 คน และ นักเรียนในระดับมัธยมศึกษาปีที่ 2 ที่ได้รับการสอนจากครูกลุ่มเป้าหมาย ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2552 จำนวน 3 คน โรงเรียนสาธิต(ศึกษาศาสตร์) มหาวิทยาลัยขอนแก่น โดยใช้การเลือกแบบ เจาะจง ในการวิจัยครั้งนี้ผู้วิจัยได้บันทึกการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของครู เรื่อง ทฤษฎีบทปีทาโกรัส และทดสอบนักเรียนภายหลังจากการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ พร้อมทั้งสัมภาษณ์ และนำมาผลที่ได้มา ใช้ในการวิเคราะห์การใช้ระบบการนำเสนอภายนอกของครูและระดับความเข้าใจเชิงเรขาคณิตของ นักเรียน การศึกษาครั้งนี้พบว่า ระบบการนำเสนอภายนอกที่ครูใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ เรื่อง ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ได้แก่ การใช้ภาษา รูปภาพ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และสื่อที่เป็นรูปธรรม โดยครูใช้ภาษาในการอธิบายทฤษฎีบทของปีทาโกรัส ทฤษฎีบทกลับ การประยุกต์ และโจทย์ที่ครู เขียนลงบนกระดาน ครูใช้รูปภาพเพื่อช่วยให้นักเรียนเข้าใจและเกิดจินตนาการในเรื่องที่ครูอธิบาย ได้ง่ายขึ้น วาดภาพในโจทย์เรื่องการประยุกต์ลงบนกระดานเพื่อให้ง่ายต่อการทำความเข้าใจ ครูใช้ สื่อรูปธรรมที่สร้างขึ้นเองเพื่ออธิบายทฤษฎีบทปีทาโกรัส ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการแก้ โจทย์ปัญหา และจากผลการวิเคราะห์การทำแบบทดสอบของนักเรียนกลุ่มเป้าหมาย 3 คน พบว่า นักเรียนมีระดับความเข้าใจเชิงเรขาคณิต ถึงระดับที่ 4 การให้เหตุผลเชิงนิรนัยอย่างเป็นแบบแผน(Formal deduction) ตามทฤษฎีบทของ van Hiele โดยนักเรียนสามารถหารูปทั่วไปของทฤษฎีบทปี ทาโกรัส สามารถพิสูจน์ด้วยวิธีการที่หลากหลายและมีความเข้าใจเกี่ยวกับทฤษฎีที่จำเป็นในการ พิสูจน์ทางเรขาคณิต นอกจากนี้นักเรียนยังมีความเข้าใจในความแตกต่างระหว่างทฤษฎีกับทฤษฎี บทกลับ ซึ่งการคิดเชิงเรขาคณิตในระดับนี้เป็นระดับที่คาดหวังว่านักเรียนในระดับมัธยมศึกษา จะต้องมี